פסיכו - שאלת האתגר היומית 004

כעת אם הוא ינוע בהיקף המעגל הפנימי שיצר, מכיוון שהרדיוס של המעגל הפנימי הוא 1/4 מרדיוס המעגל המקורי, הרי שההיקף שלו שווה גם כן ל- 1/4 מהיקף המעגל החיצוני (יחס קווי 1:4)

 

כעת לחתול יש דרך ארוכה פי 4 מלעכבר (בתנועה על ההיקף), והמהירות של החתול גבוהה פי 4, ולכן, הזמן שייקח לעכבר להקיף את המעגל הפנימי זהה לזמן שייקח לחתול להקיף את המעגל החיצוני.

 

אם העכבר ייכנס פנימה מרחק זניח (ממש קצת - נגיד 1 ס"מ...), ההיקף שהוא צריך לעבור יהיה יותר קטן מ- 1/4 היקף המעגל החיצוני, ולכן יספיק להשלים הקפה מהר יותר משהחתול יקיף את המעגל החיצוני.

 

מה שהעכבר צריך לעשות עכשיו, זה לרוץ במעגלים עד שהוא יגיע למצב שהוא נמצא בצד אחד של מרכז המעגל (נניח מימין) והחתול נמצא מהצד השני (משמאל).   הוא יוכל להגיע למצב הזה כי הוא מסיים הקפה מהר יותר משהחתול מסיים הקפה.

 

ברגע שהוא נמצא בכיוון המנוגד לחתול, הוא פשוט חותך החוצה.

המרחק שיש לעכבר לעבור הוא 3/4 רדיוס ועוד מרחק זניח (נגיד 1 ס"מ...).

כשהעכבר עובר מרחק כזה, החתול מספיק לעבור מרחק גדול פי 4 ממנו --> 3 רדיוסים (= 3/4 רדיוס כפול 4).

 

המרחק שיש לחתול לעבור זה פאי כפול הרדיוס (מחצית מהיקף המעגל החיצוני).

מכיוון שפאי זה גדול מ-3, הדרך שעל החתול לעבור יותר ארוכה מאשר פי 4 מהדרך של העכבר והוא לא יספיק להגיע לעכבר בזמן.

 

ההסבר קצת מסובך, אבל הפתרון בעצם די פשוט.

 

 

תנסה לענות על האפשרות הזאת, אם תצליח הרי פתרת.

 

אין ספק שאם החתול לא יזוז ממקומו העכבר ייצא. אבל לפי הסרטוט שלך העכבר לא ייצא.

 

כאשר העכבר ינוע שמאלה R/2 אזי החתול ינוע 2R שזה שווה בערך ל2#R/3.

לאחר מכן העכבר עושה דרך של שורש 3 כפול 1/2R,שתסכים איתי שזה יותר הרבה מ1/2R, והדרך שנותרה לחתול היא שוב בערך 2#R/3. מכאן נובע שהחתול יגיע לפני העכבר.

 

ובכללי הדרך שעושה העכבר: (שורש 3+1)1/2R

והדרך שעושה החתול: 2/3#R

 

הדרך שעושה העכבר 1.37R

הדרך שעושה החתול 2.1R

 

רואים שהדרך של החתול לא ארוכה בלפחות פי 4 משל העכבר.

מסתבר שהחתול הזה חכם יותר מרוב האנשים :).

אבל בכל מקרה יש לי פתרון לחידה.

 

קשה להסביר ללא ציור אבל לא בלתי אפשרי.

נסמן כ-#=פאי

 

נ"ק פתיחה: העכבר באמצע המעגל, החתול בנ"ק כלשהי על הקשת.

 

שלב א: העכבר מתחיל לנוע לכיוון המנוגד מן החתול, החתול ינוע לאחד הצדדים על קשת המעגל (לצורך נוחות נגיד ימינה).

          העכבר יתמיד בכיוונו עד שהחתול יעבור שישית מהיקף המעגל.

          בשלב זה העכבר יעבור דרך של  R#/12 .

 

שלב ב: העכבר ישנה את כיוונו שמאלה לכיוון הנקודה על היקף המעגל, אשר מיקומה הוא משמאל לנקודה על היקף המעגל, שנמצאת בדיוק מרחק חצי מעגל מן החתול. (מי שלא הבין שיקרא שוב). הסיבה לכך היא שהחתול יאלץ לשנות את כיוונו ולחזור חזרה (אם לא יעשה כן העכבר יתמיד בכיוון וייצא מהמעגל). העכבר ימשיך בכיוון עד שהחתול יגיע לנקודת ההתחלה שלו.

 

שלב ג':  לאחר מכן העכבר ישנה את כיוונו ימינה בקו המקביל למשיק של נקודת ההתחלה של החתול.

החתול שוב יתחיל לנוע לאורך קשת המעגל (אם לא יעשה כך, כאשר העכבר יגיע לנקודה אשר נמצאת על הרדיוס שלאורכו העכבר רץ בהתחלה, אז העכבר ינוע שוב פעם לאורך הרדיוס וייצא מהמעגל). העכבר יגיע לקו הרדיוס שלאורכו רץ בהתחלה, ובזמן הזה החתול לא יספיק להשלים שישית מעגל.

 

שלב ד': אם העכבר יוכל עכשיו לצאת מהמעגל (בהמשכו לאורך הרדיוס שלאורכו רץ בהתחלה) שיעשה כך. אם לא, שיחזור לשלב ב'.

 

בדקתי את זה והגעתי למסקנה שבסופו של דבר יווצר מצב שהעכבר יהיה ביתרון יחסי על החתול ויוכל לצאת בדרך שציינתי לעיל.

 

אני מודע לעובדה שדיי קשה להבין מה שכתבתי, אבל באמת התאמצתי שהכתיב לא תהיה דו משמעית.

בכל אופן אני יכול לשלוח סרטוט במייל למי שירצה.

 

שיהיה לכולם אחלה שבוע.:)

העכבר אמור להגיע לאיזור היקף המעגל מבלי שהחתול יפגע בו(ייפגש בשפה פסיכו'),

מכיוון שמהירות החתול היא 4X ושל העכבר היא X לכאורה מצב זה נראה כבלתי אפשרי-

כי-

הדרך המקס' שייצתרך לעשות החתול בכדי להצליח במשימתו היא לעשות 2 פאי R חלקי 2(פאי R) ואילו של העכבר היא

פחות מR(ליתר דיוק שורש R)

העכבר נע לכיוון מזרח(בזמן שהחתול בכיוון הנגדי מערב) ועוצר בשורש R(חצי R) באותו הזמן סימולטנית החתול נע לעבר הנ. המזרחית ועושה  דרך של פאי R במהירות 4X, לאחר מכן העכבר נע דרומה כך גם החתול (ניסיון פתרון לא מוצלח במיוחד)

 

 

מהירות X שווה לפאי R חלקי שש עשרה (לאחר חישוב קצר) נגיד R=10 המהירות היא 34 חלקי 16 כלומר 2 ושמינית,

מהירות 4X היא 8 וחצי

דרך X-(ניתנת לשינוי)

דרך 4X-ההמקס' 68

מכל זה משתמע דבר אחד......

 

או שאני גרוע במת' ובגלל זה לדעתי לעכבר אין כל סיכוי...

או שבעצם מהירות החתול גוברת על כל תכסיס של העכבר...

בכל מקרה פסיכו יהיה מעניין לראות את התשובה!